中小学尖子生思维训练的游戏--汉诺塔

创客导师

中小学尖子生思维训练的游戏--汉诺塔

一、教学目标
1.认识汉诺塔。了解汉诺塔历史及游戏规则，学会移动3~6个圆盘的玩法。能用条理清晰的语言阐述自己的想法。
2.在学习过程中，经过自己的探索，发现前面探究获得的结果可以帮助解决后面未知的问题（递推思想），感知首环移动与圆盘的奇偶性关系。体验数学方法倒推、转换、递归等在游戏中的应用，培养学生思考力。
3.开发动手能力，培养遇到难题时坚持不懈的精神。
二、教学重点
掌握汉诺塔的游戏规则，发现最优步骤取决于首环移动位置。
1.当n等于3的时候

2.当n有4个的时候

1.教学难点：倒推和递归等数学思想的应用。
2.教学准备：多媒体教学课件，每人一个汉诺塔。
三、活动过程
一、展示预习作业，导入新课
师：昨天老师留了预习作业，让大家收集有关汉诺塔的资料。现在我们就来看看几位同学收集的资料吧。
生1：通过搜集我知道了汉诺塔的构造，它是由一个底座和三根同样高的柱子构成，这三根柱子从左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上，由下至上还排列着由大到小的8个不同颜色的圆环。
生2：我通过搜集资料了解到汉诺塔的游戏规则：
（1） 将所有盘按原来的排列移到另一根柱子上。
（2） 在玩的时候，每次只能移动一个圆盘。
（3）大圆环永远不能压在小圆环上面。
（4）按上边规则尽可能用最少的步数移出。
为了玩得更轻松，有人还把器具的玩法编成了口诀：一次一环，大不压小。
师："在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。 当把所有的圆环按规则移动到另外某一个柱子上时地球就毁灭了。"这个预言真假，有科学性么？
师：世界末日真的会到来吗？一位法国的著名数学家爱德华听了这个故事，就动手玩了这个游戏，结果他笑了，他为什么笑了呢？今天我们玩一玩这个器具，共同走进奇妙的汉诺塔。（板书课题。）
四、尝试活动，探寻数学思想
　　师：（出示课件。）刚才同学介绍了汉诺塔的三根柱子分别叫A柱、B柱、C柱。为了一会儿操作方便我们还可以把圆环所在的A柱叫起始柱；假如我们想把圆环移到C柱上，C柱就叫目标柱；B柱就叫过渡柱。而在圆环的移动过程中，有时候它们的角色会发生转变。这8个圆环也可以叫做圆盘，我们可以从上至下叫1环、2环、3环……8环，另外这8个环的首领是最小的1环，所以1环也可以叫首环。
　　师：大家还记得这个游戏的规则吗？把圆环按原来的顺序，也就是原来小环在上，大环在下，把它们移到另一根柱子上时，仍然要小环在上，大环在下。同学们想想移动的过程中我们的第一个目标是把最大环移至目标柱，还是把最小环移至目标柱。（板书：一次一环，大不压小。）动手试试吧。
　　师：刚才在操作中你遇到了什么困难？
　　生1：我移到3根柱子都有圆环的时候就不知道怎么办了。
　　生2：有时候我移来移去又移回到起始柱了。
　　师：看来要成功地移出8个环确实有难度，它的移动一定是有规律可寻的，那我们可不可以降低难度由易到难，从一个盘的移动开始体会。接下来请大家借助老师为你准备的导学单，我们一起来研究一下。
　　师：导学单的第一列是什么？（生：环数。师板书。）也就是要移动几个环；第二列呢？这里哪个词最重要？（生：最少用几步。师板书。）"最少"体现了数学上的优化思想，所以也可以说是最优步数；第三列呢？（生：首环位置。师板书。）就是第一步先把首环放在哪根柱子上？这正是我们要验证的一个重要问题。
　　师：现在我们就从易到难从一个环开始研究。一环移动用几步？
　　（生演练。）
　　毋庸置疑一环移出没有障碍，一步就可以完成，第一步首环直接落在目标柱上。（板书：1-1-目。）
　　师：要是两个环我们怎么移出呢？请你试试。
　　（生汇报，分别请5步完成及3步完成的学生演示。）
　　师：这两位同学的操作，虽然都把圆环送达了目标柱，但是你更喜欢谁的方法？为什么？（生：用3步完成的。）（板书：3。）当我们选择最简洁的步骤完成任务时，就体现了我们数学中的"优化"思想。在学习和生活中我们会选择优化的方法，效率就会提高，我们的头脑也会变得更聪明更智慧。
　　现在我们看一下两位同学演示过程的解析图，为什么有的同学用3步，有的同学用5步？他们在第几步出现了不同？
　　师：首环移动时就不同了。用5步完成的同学第一步把首环落在哪了？（生：目标柱。）。用3步完成的同学，第一步把首环落在哪了？（生：过渡柱。）
　　移出兩环时为什么把首环落在过渡柱上步数才最优呢？在移动两环时我们的第一目标是——（生：最大环——目标柱。）最大圆环能否直接移去目标柱？（生：不能。）原因是——（生：首环压住了最大环。）怎么办？（生：上面的首环是障碍，所以先把首环落在过渡柱上，首环要礼让才能顺利移出最大环。）就像排队一样，越想往前挤就越浪费时间，首环如果先挤占了目标柱，最大环就不能直接去目标柱了，就浪费了步数，所以首环应落在——（生：过渡柱。）
　　师：再次操作，请所有同学把首环落在过渡柱上移出两环。如果同桌有困难，请相互帮助。
　　师：看来首环的位置就已经决定我们的步数是否最优。 要想优化两环的步骤，我们的第一步一定落在哪里？（生：过渡柱上）。回头看移出一环时我们直接把它落到哪根柱子上了？（生：目标柱）。那要想优化三环的步骤首环应该落到哪根柱子上？看课件让我们分组试试，女生落在目标住上，男生落在过渡柱上，把你的步骤记录在导学单上。
　　（男女生分别汇报，得出优化三环步骤为7步，首环落在目标柱。）
　　师：为什么把首环落到目标柱用的步数最少？请同学们再次移动找出原因。谁来讲讲移三环的时候为什么把首环落到目标柱用的步数最少？
　　生：移三环的第一目标还是最大环先移到目标柱上，那上面两个环就是大环的障碍，要想把上面两个环都移至过渡柱上，第一个环又是第二个环的障碍，所以要先把第一个环落在目标柱上。
　　师：他的这种方法叫做倒推法，倒推是一种非常好的数学思想。它是利用已知条件，最大环要移去目标柱，倒着向前推理，那前两环应该怎么办？二环要移至过渡柱，倒着向前推理一環怎么办？这样倒着推理出首环要落在目标柱步骤才能最优。
　　师：在移出四环之前你能以第一目标：最大环移去目标柱开始，倒推出首环的位置吗？同桌交流，大胆推测。
　　（一生说推理过程：4-目，前3-过，前2-目，首-过。首环应落在过渡柱位置。）
　　（生操作，汇报步数，展示操作过程。）
　　师：第一目标：最大环去目标柱，前三环要去过渡柱，这时候B柱其实是前三环的——（生：目标柱。）C柱变成前3环的——（生：过渡柱。）按三环的移动经验，7步把它们移至B柱上。第八步将最大盘成功落在目标柱上，再将前三环移至C柱上，这时候C柱又变成前三环的目标柱了，A柱变成前三环的过渡柱。这个过程你有什么发现？在移动的过程中三个柱子的角色是在变换的。这种变换就是另一种数学思想——转换，利用转换的思想可以令我们走出困境。
　　观察前四环的移动，你们发现了首环移动的规律了吗？（生：单数环首环移动到目标柱，双数环首环移动到过渡柱。）能根据这个规律推想一下移出五环时，首环落在哪？（师板书。）
　　师：我们再看最优步数，四环的步数是怎么得到的？是在几环的基础上？7×2+1，（师板书）这个7是谁用的步数？这个1呢？哪位同学来说一说？
　　师：五环用多少步你能算出来吗？（生：15×2+1=31。）六环呢？（生：31×2+1=63。）
　　师：那我们能不能将它分解成前四环和最大环来想，前四环如果能移到过渡柱，最大环就能顺利地移至目标柱。我们刚刚研究过四环的移出用15步。 同样道理，移4环需要考虑怎样把前3环移出，移3环需要考虑怎样把前2环移出。这种思想就叫递归。递归就是把一个复杂的思想转换成与之类似的简单的小问题来解决。5环较为复杂，我们就把它转换成4环来想，4环就把它转换成3环来想，这就是递归。
　　（游戏：盲移5环，移后报时。）
五、总结
　　师：同学们真是了不起，在短短的时间内不仅探究出首环位置的规律，还找到了计算圆环移动次数的方法。数学家爱德华也找到了这个方法，他按这个方法计算下去，10环1023步，20环100多万步，30环 10 亿多步……继续算下去，移动完64个环要用1800多兆步，移完这个步数大约要用5850亿年。5850亿年，那是个遥不可及的未来！所以爱德华笑了。通过汉诺塔的学习，我们了解并运用了一些数学思想，比如：化难为易、优化、倒推、转换、递归……这些数学思想能使我们变得更聪明更智慧，少年智则国智！少年强则国强！有了你们的大智慧我们的祖国一定会更加富强！