三阶幻方--数学思维拓展

创客导师

三阶幻方--数学思维拓展   

       幻方也叫纵横图，就是在n×n的方阵中放入从1开始的n×n个连续自然数，在一定的布局下，使其各行、各列及两条对角线上的数字之和正好相等。这个和数就叫“幻方常数”或“幻和”。
      在小学数学中，最常见的幻方是三阶幻方，也就是传说中大禹治水的时候洛水神龟献给大的“洛书”。下面就从三阶幻方的结构特征出发，展开进一步的学习。
在下面图中幻方中所填的数将不局限于若干个连续自然数，但满足“行和=列和=对角线和”
三阶幻方的结构特征:
（1）三阶幻方的幻和=3×中心数 （公式1）
（2）如图所示，在三阶幻方中a=（h+f）÷2 （公式2）

思维分析：
（1）如图所示

小学数学思维拓展：幻方
在图中的三阶幻方中，设幻和为s，根据构成幻方的条件可以得到下列等式：
a+e+i=s；b+e+h=s；c+e+g=s；d+e+f=s
观察上面4个等式，中心数e重复计算了4次，而其他数则计算1次，我们把4个等式对应相加可得：
a+e+i+b+e+h+c+e+g+d+e+f=4×s
把上面等式的左边计算次序作如下调整：
（a+b+c）+（d+e+f）+（g+h+i）+3×e=4×s
上面的等式实际上可以写成：
3×s+3×e=4×s
显然有：s=3×e，也就是幻和=3×中心数
（2）如图所示：

在图中的三阶幻方中，设幻和为s，根据构成幻方的条件，可以得到下列等式：
a+b+c=s；a+d+g=s
所以2×a+b+c+d+g=2×s （等式1）
一方面，三阶幻方中的9个数，从三个行的方向计算可以得到三个幻和，也就是说这9个数之和等于幻和的3倍。
另一方面，观察上图中对角线上的3个空格，这三个方格中所填数之和等于幻和。
所以上图中的b、c、f、d、g、h6个方格所填的数字之和等于幻和的2倍，即：
b+c+d+f+g+h=2×s （等式2）
比较等式1和等式2
2×a+b+c+d+g=2×s
b+c+d+g+f+h=2×s
显然有2×a=f+h，即a=（f+h）÷2
举一反三：在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24（已有三个数填出）。

你能完成上面这个幻方吗？